Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind vernünftige Zahlen, wie ihr Name bereits verrät. Sie haben lauter vernünftige Eigenschaften. Allerdings zeigen sie ein durchaus irrationales Verhalten und eine gespaltene Persönlichkeit, wenn man sie nur genügend stresst.
 * 1) Rationale Zahlen sind abzählbar. Deshalb bemerkt man beim Morgenappell leicht, ob eine verlorengegangen ist.
 * 2) Rationale Zahlen lassen sich als Brüche darstellen.
 * 3) Jede rationale Zahl hat in mindestens einem Zahlensystem zwei Darstellungen, die äquivalent erscheinen.

Beispiel: Alle rationalen Zahlen sind darstellbar und nicht darstellbar. Beweis:
 * 1) 1 ist eine rationale Zahl.
 * 2) Im Dezimalsystem lässt sie sich darstellen sowohl als 1 als auch als 0,999... Die zweite Form lässt sich zwar andeuten, nicht aber darstellen, weil sonst das Internet überlaufen würde vor lauter Neunen. Aber eigentlich ist das ja auch periodisch.
 * 3) Alle nichtperiodischen rationalen Zahlen haben zwei solche Darstellungen. Beispiel: 1,34567=1,345669999999999999...
 * 4) In irgendeinem Zahlensystem zu einer bestimmten Basis ist jede rationale Zahl nichtperiodisch (mit Ausnahme der auch unter rationalen Zahlen auffallend vernünftigen Null, was einen weiteren Beweis dazu liefert, dass sie keine Zahl ist).
 * 5) Jede rationale Zahl hat also in irgendeinem System zwei Darstellungen, von denen die zweite nicht darstellbar ist.

Irrationale Zahlen

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