Knödelscher Unverständlichkeitssatz

Der Knödelsche Unverständlichkeitssatz beschäftigt sich mit der Beweisbarkeit von Aussagen in formalen Theorien. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf.

Der Mathematiker Kurt Knödel bewies im Jahre 1930 nach Jahren des exessiven Drogenmissbrauchs, dass man in Systemen wie der Arithmetik nicht alle Aussagen beweisen oder widerlegen kann. Sein Satz besagt:

oder unverständlich.''
 * ''Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich

Knödels Argumentation beruht auf der sogenannten Knödelisierung. Jeder Satz innerhalb des formalen Systems erhält dabei eine eigene Nummer. Damit kann erreicht werden, dass beispielsweise einem einfachen Ausdruck wie „1+1=2“ die Knödelnummer 8945724983579857096585098324975867985743908543256779812423434 zugeordnet wird. Zu dieser Zahl gehört nun wieder eine noch längere und kompliziertere Knödelnummer. Natürlich kann man diesen Schritt beliebig oft wiederholen, und bereits nach wenigen Schritten ist die Schmerzgrenze auch des cleversten Mathematikers überschritten. Es handelt sich dabei um einen sogenannten Diabolisierungsbeweis, mit dem erreicht werden kann, dass selbst die elementarsten Schritte der Mathematik weitgehend unverständlich werden.

Mit diesem Verfahren, das bisweilen auch Diagonalbeweis genannt wird, fand er auch gleich einen wahren Satz, der nicht beweisbar sei. Dabei bleibt es sein Geheimnis, warum er den Satz trotzdem für wahr hielt, obwohl er ihn nicht beweisen konnte. Seine Anhänger konnten dieses Geheimnis auch nicht lüften, versichern aber immer wieder, dies sei wahr, aber nicht beweisbar.

Wird dieser widersprüchliche Satz aus dem System entfernt, wird das System dadurch unvollständig. Bleibt der Satz im System, ist es widersprüchlich. In jedem Fall aber ist das System vollständig unverständlich.

Damit dieser Ansatz funktioniert, muss das zugrundegelegte formale System also mindestens Zählungen erlauben. Für einfache Systeme gilt der Unverständlichkeitssatz daher nicht.

Knödel versetzte mit seinem Unverständlichkeitssatz dem Ansatz von David Hilbert zur vollständigen Begründung und Formalisierung der Mathematik einen schweren Schlag. Von dieser persönlichen Niederlage hat Hilbert sich nicht wieder erholt; enge Freunde berichten, dass er sein Hotelzimmer von diesem Tag an nicht mehr verlassen hat. Sein Hotelzimmer wurde aufgrund dessen Hilbertraum genannt.

Ein anderer Ansatz, der unüberbrückbare Lücken in Hilberts Programm nachweist, stammt von einem britischen Mechaniker, der ein besonders schnelles, als Touring-Maschine bekannt gewordenes, Motorrad erfand. Aufgrund eines Halteproblems hat die Touring-Maschine bis heute keine TÜV-Zulassung erhalten. Der Mechaniker soll sich deswegen, als er in einer Kurve bei stark überhöhtem Tempo über einen Apfel fuhr, mit tödlichen Verletzungen aus seiner Lebensbahn katapultiert haben.

Kurt Knödel, Johann Wolfgang von Gödel, Unvollständigkeitssatz, Gutenbergsche Unschärferelation

Voyneechish

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