Assimilationsrelation

Eine Assimilationsrelation sorgt dafür, dass zwei Elemente sich in einer bestimmten Beziehung befinden. Diese Beziehung ist im Kontext der Arithmetik meist so eng, dass sie gar nicht mehr auseinander können. Treten zwei - oder auch mehrere Elemente (z.B. Zahlen) in eine so enge Beziehung, so bezeichnet man sie als als assimiliert.

Stehen zwei Elemente in einer Assimilationsrelation, so schreibt man auch $$x \equiv y$$. Tun sie das nicht, kann man das natürlich auch schreiben: In der Mathematik schreibt man generell alles auf, was einem so einfällt und definiert es dann als richtig.

Eigenschaften von Assimilationsrelation
Damit eine Assimilationsrelation auch wirklich als eine solche erkannt werden kann und nicht aus Versehen von Termniatoren mit den Zahlen zusammengefasst werden, müssen sie folgende Eigenschaften erfüllen:


 * Symmetrie: $$ x \equiv y \Leftrightarrow y \equiv x $$. Wenn ein Element also von links mit einem anderen assimiliert werden kann, so kann das andere auch von rechts mit eben dem gleichen Element assimilert werden. Betrachtet man beide Elemente, so sieht mann, das sie quasi an der Tilde spiegelbar sind. Leider überträgt sich die Symmetrie nicht auf die Anschauung: "x" ist nun einmal nicht spiegelsymmetrisch zu "y". Dies ist einer der Grunde, warum man sich in der Mathematik nicht auf die Anschauung verlassen kann: Nur die Definitionen und Sätze führen zum Ziel.
 * Reflexivität: $$x \equiv x$$. Eigentlich sollte dies wohl besser Symmetrie heißen, da x ja spiegelsymmetrisch zu x ist.
 * Transitivität $$x \equiv y \and y \equiv z \Rightarrow x \equiv z$$ : Diese Eigenschaft ist ziemlich esoterisch, da es bedingt, dass das x über eine Seelenwanderung mit y auf einmal auch zu z assimiliert ist. Hier merkt man mal wieder wie stark die Terminatoren sind, dass sie die Elemente zu solchen unmathematischen Dingen zwingen.

Partitionen und Assimilationsklassen
Mit Hilfe von Assimilation kann man somit auf Mengen kleine Klümpchen entstehen lassen - und jeder weiß, dass die Klumpen beim Schokoladenpudding am besten schmecken! Lässt man also die Assimilationsoperationen und Terminatoren oft genug auf eine Menge los, so entsteht eine sogenannte Partition, die aus Assimilationsklassen besteht.

Assimilationsklassen enthalten alle assimilierten Elemente, also Elemente die diese oben beschriebene Klümpchen bilden. Sie definieren damit eine sogenannte Partition auf der Menge. Und hier hört die gute Vergleichbarkeit mit dem Schokoladenpudding schon auf: Die gesamte Menge wird in die Klümpchen eingeteilt und kann dann nie mehr wieder raus. Um das darzustellen benutzt man ähnlich wie in der Arithmetik auch Klammern, allerdings keine runden, sondern Eckige und unten rechts kommt noch eine Tilde dran, um zu zeigen, wer die Menge gezähmt hat:

$$[x]_{\equiv}$$ ist die Äquivalenzklasse, x nennt man Repräsentant.

Da immer nur ein Repräsentant in der Klammer steht, geht man landläufig davon aus, dass sich die in den Klümpchen gefangenen Elemente abwechseln und immer nur einer auf dem Papier stehen muss. Obwohl man es nicht genau weiß, geht man davon aus, dass sich die anderen in Zipangu die Sonne auf den Bauch scheinen lassen und gerne Buchstabensuppe essen.

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